Zef Damen Regelmatige N-hoek

Regelmatige N-hoek


*Hoe construeer je een willekeurige regelmatige N-hoek, ingeschreven in een gegeven cirkel?*
	Zoals al aangegeven in de constructies pagina, kunnen veel veelhoeken niet worden geconstrueerd met de passer-en-liniaal constructiemethode. Eén voorbeeld is het heptagon, de regelmatige zevenhoek. De gegeven X- en Y-coördinaten van de hoekpunten van het heptagon worden gebruikt om het zo nauwkeurig als nodig is te tekenen. Dit is een speciaal geval. Voor een willekeurige regelmatige veelhoek (het algemene of generieke geval) worden de X- en Y-coördinaten afgeleid van de cosinus en sinus van de hoek, die het hoekpunt maakt met de positieve X-as. Als r de straal is van de cirkel en N het totaal aantal hoekpunten, dan zijn de coördinaten van het i-de hoekpunt (i = 0, 1, ..., N-1): X = r * cos (i/N360°) Y = r sin (i/N*360°) Met een wetenschappelijke rekenmachine (bijvoorbeeld de Windows rekenmachine in wetenschappelijke modus) kunnen deze waarden gemakkelijk berekend worden. Om een voorbeeld te geven volgt hier de berekening van de coördinaten van een regelmatige dertienhoek, ingeschreven in een cirkel met straal = 1.0000, en met de punt naar rechts (rekenmachine in de "DEG"-modus):
	i	i/N*360°	X	Y
	0	0.0000°	1.0000	0.0000
	1	27.6923°	0.8855	0.4647
	2	55.3846°	0.5681	0.8230
	3	83.0769°	0.1205	0.9927
	4	110.7692°	–0.3546	0.9350
	5	138.4615°	–0.7458	0.6631
	6	166.1538°	-0.9709	0.2393
	7	193.8462°	–0.9709	–0.2393
	8	221.5385°	-0.7458	–0.6631
	9	249.2308°	–0.3546	–0.9350
	10	276.9230°	0.1205	–0.9927
	11	304.6154°	0.5681	–0.8230
	12	332.3077°	0.8855	–0.4647

Net als voor het heptagon moeten voor andere oriëntaties de x- en y-waarden worden aangepast, als volgt: voor een veelhoek met een hoekpunt naar links wijzend: verwissel + en – van alle waarden voor een veelhoek met een hoekpunt omhoog wijzend, verwissel de x- en y-waarden voor een veelhoek met een hoekpunt naar beneden wijzend, doe beide, verwissel + en –, en verwissel de x- en y-waarden Als een willekeurige oriëntatie nodig is, waarbij het eerste hoekpunt een hoek zeg α met de X-as maakt, dan moet deze hoek worden opgeteld bij de hoeken in de bovengegeven formules. In dit geval worden de coördinaten van het i-de hoekpunt: X = r * cos (i/N360° + α) Y = r sin (i/N*360° + α) De gegeven coördinaten gaan uit van een omgeschreven cirkel met een straal van 1.0000. Voor veelhoeken met andere afmetingen: vermenigvuldig alle x- en y-waarden met de gewenste straal van de omgeschreven cirkel, overeenkomstig de boven gegeven formules voor X en Y.