|
Zef Damen
Niet passer-en-liniaal constructies (1)
|
|
|
Niet passer-en-liniaal constructie van regelmatige veelhoeken met oneven aantal zijden
|
|
| In het midden van de Ivinghoe Beacon formatie van 26-juli-2002 is een drievoudig patroon te zien in de vorm van een soort propeller. De reconstructie hiervan is interessant, omdat hieruit een andere manier voor het construeren van regelmatige veelhoeken met een oneven aantal zijden tevoorschijn komt. Om dat te laten zien, zal ik de reconstructie van dat deel nog een keer kort herhalen.
|
|
 |
Ingeschreven in een cirkel 1 is een nonagon 2, een regelmatige negenhoek. Cirkel 3 ligt met zijn middelpunt op het onderste eindpunt van de verticale middellijn en gaat door de twee aanliggende hoekpunten van nonagon 2. Zijn straal is dus gelijk aan een zijde van de ermee corresponderende regelmatige 18-hoek (niet weergegeven). Concentrisch met cirkel 1 is een cirkel 4 geconstrueerd, die cirkel 3 aan de bovenkant raakt. Cirkel 3 is 4 keer gekopieerd, één naar het middelpunt van cirkel 1 en de drie andere naar de snijpunten van cirkel 4 met de lijnen 2 en de bovenste helft van de verticale middellijn. Deze lijnen liggen onderling onder een hoek van 120°. Cirkel 4 is 3 keer gekopieerd, naar de snijpunten van de centrale cirkel 3 en dezelfde 120°-lijnen.
Interessante vraag: waarom gaan cirkels 4 precies door de snijpunten van cirkels 3 (b.v. het met een pijl gemarkeerde punt)? Of gaan ze niet precies door één punt? |
|
 |
Het antwoord is: ja, ze gaan door één punt. Als de figuur wordt uitvergroot, is duidelijk te zien, dat drie cirkels door één enkel punt gaan. Maar dat is nog geen bewijs. In de volgende paragrafen zal ik laten zien dat het inderdaad waar is. Daaruit komt een andere (maar niet onbekende) manier tevoorschijn voor het construeren van regelmatige veelhoeken met een oneven aantal zijden. Geen passer-en-liniaal constructies, maar met "scharnierende linialen" en "glijdende armen". |
|
 |
De redenering verloopt als volgt. Ik doe de constructie nog een keer, maar dan met een willekeurige cirkel 3. Dan laat ik zien onder welke voorwaarde cirkels 4 door de snijpunten van cirkels 3 gaan. Tenslotte zal ik laten zien, dat alleen aan deze voorwaarde kan worden voldaan, als de straal van cirkel 3 gelijk is aan één zijde van de regelmatige 18-hoek, die met het nonagon correspondeert, zoals in eerste instantie was gekozen.
Hier zie je de reconstructie opnieuw, met een cirkel 3 ietsje groter dan de originele. |
|
 |
Laten we de straal van cirkel 3 r noemen, en die van cirkel 4 R. Lijn x verbindt het middelpunt van de gemarkeerde cirkel 4 met het snijpunt van cirkels 3 aangegeven door de pijl. Als cirkel 4 door dit punt moet gaan, dan moet x gelijk zijn aan R.
We moeten er dus voor zorgen, dat
x = R (1) |
|
 |
Als we kijken naar de driehoeken ABC en BCD (zie figuur) betekent dit, dat beide driehoeken gelijk (congruent) moeten zijn. Dat houdt in, dat hoek a gelijk moet zijn aan hoek b:
a = b (2)
Eén van de lijnen 2 naar de andere kant van cirkel 1 verlengd. Omdat lijnen 2 onderling onder een hoek van 120° staan, maakt deze verlengde lijn met de andere lijn 2 een hoek van 60°. Dus, hoek b plus hoek c zijn samen 60°:
b + c = 60° (3)
Hoek c is een buitenhoek van driehoek BCD, en is daarom gelijk aan de som van beide niet aanliggende hoeken van driehoek BCD. Oftewel:
c = 2a (4)
Samen met (2) en (3) volgt hieruit, dat:
a + 2a = 60° (5)
Ofwel:
a = b = 20° (6)
Merk op, dat 20° één 1/18de is van een volle cirkel van 360°, en dus exact één sector van een regelmatige 18-hoek opspant. |
|
 |
Als we dus hoek b inderdaad 20° maken, en lijn CB verlengen tot aan cirkel 1, krijgen we deze figuur. Nu is lijnstuk FG (lengte z) inderdaad gelijk aan één zijde van de regelmatige 18-hoek. We moeten nu bewijzen, dat z = r.
Uit de figuur valt het volgende te concluderen:
d = 2b = 40° (7)
e = 2d - b = 80° - 20° = 60° (8)
Dat betekent, dat driehoek AEF gelijkzijdig is. Dus:
f = 60° (9)
en:
y = r (10)
g = 180° - d - f = 180° - 40° - 60° = 80° (11)
CFG is een gelijkbenige driehoek (beide zijden zijn gelijk aan de straal van cirkel 1), en dat leidt tot:
h + f = i = 1/2(180° - b) = 1/2(160°) = 80° (12)
En dus:
i = g (13)
wat betekent, dat driehoek EFG ook gelijkbenig is, en we tenslotte kunnen concluderen (via (10)):
z = y = r (14) |
|
| We hebben nu één sector van een regelmatige 18-hoek, waarin 5 lijnstukken van lengte r zijn uitgelegd, kop aan staart, die het exact opspannen. Op de volgende pagina zal ik laten zien, dat dit kan worden opgevat als een manier om een regelmatige 9- (en 18-)hoek te construeren en hoe dit gegeneraliseerd kan worden tot alle regelmatige veelhoeken met een oneven aantal zijden. |
|
|
|
Sinds 1-februari-2005
|
English version