Zef Damen Constructies met passer en liniaal

Home Werk en Beroep Graancirkel­reconstructies Esoterie Lijn-en-Spel Lego Klok Mijn graancirkelreconstructies zijn, voor zover mogelijk, constructies met passer en liniaal. Wat zijn constructies met passer en liniaal? Bij passer-en-liniaal-constructies worden uitsluitend een passer en een liniaal zonder verdeling gebruikt. De liniaal mag alleen gebruikt worden om lijnen te trekken tussen (of dóór) twee bestaande punten. De passer kan worden gebruikt voor het tekenen van een cirkel of cirkelboog vanuit een bestaand punt als middelpunt en een ander punt om de straal te bepalen. Daarnaast kan de passer ook gebruikt worden om de afstand tussen twee al aanwezige punten over te brengen. Die kan overgebracht worden naar een derde punt om zo een nieuw punt op dezelfde afstand ervan te creëren, of om een cirkel(boog) te tekenen met de afstand als straal. (Opmerking: P.E.Zimourtopoulos van de Democritus Universiteit van Thracië in Griekenland, maakte mij erop attent, dat bij strikte passer-en-liniaal constructies het laatstgenoemde gebruik van een passer niet is toegestaan. Zodra een passer niet meer bezig is met het tekenen van een cirkel, "lost hij op", en verdwijnt in het niets! In "Cirkel kopiëren" toon ik echter aan, dat het mogelijk is een gegeven cirkel naar elk willekeurig punt te kopiëren, met uitsluitend gebruikmaking van zo'n "oplospasser" – en het trekken van lijnen tussen twee punten –, dus overeenkomstig de strikte passer-en-liniaal-methode.). Elke constructie begint met twee willekeurige punten, die worden gebruikt om een lijn of een cirkel (of allebei) te tekenen. Vervolgens worden bij elke volgende constructiestap uitsluitend punten gebruikt, die al zijn gegeven of uit eerdere constructiestappen zijn ontstaan. Nieuwe punten ontstaan telkens als lijnen en cirkels elkaar (of onderling) snijden. Niet elk patroon kan worden geconstrueerd door toepassen van de (strikte) passer-en-liniaal-regels. Bijvoorbeeld, een heptagon – een regelmatige zevenhoek – kan niet worden geconstrueerd op deze manier. Er is in de wiskunde een "wet" bekend, die zegt dat een regelmatige n-hoek dan en slechts dan met passer-en-liniaal is te construeren, als n een eindig product is van verschillende getallen uit de verzameling van machten van 2 (2, 4, 8, 16, ...) en de priemgetallen van Fermat (3, 5, 17, 257, 65537, ...). Volgens deze wet zijn regelmatige n-hoeken construeerbaar voor n = 3 (gelijkzijdige driehoek), 4 (vierkant), 5 (pentagon), 6 (hexagon), 8 (octagon), 10 (decagon), 12 (dodecagon), 15, 16, 17, 20, ...; echter regelmatige n-hoeken met een n die niet in deze rij voorkomt, zijn niet construeerbaar (n = 7 (heptagon), 9 (nonagon), 11 (undecagon), 13, 14, 18, 19, ...). In de volgende secties zullen een aantal constructies onder de loep worden genomen. Daarbij worden de volgende symbolen gebruikt: Punt van de passer als middelpunt voor het construeren van een cirkel of cirkelboog. Richting van een te construeren lijn, cirkel of cirkelboog. Constructiepunt (snijpunt van cirkels en/of lijnen). Willekeurig of speciaal punt. Alle elementen worden genummerd overeenkomstig de constructiestap waarin ze het eerst vóórkomen. Hoe construeer je een bisectrice? Hoe verdeel je een gegeven hoek in twee gelijke delen? Hoe construeer je een middelloodlijn, die een gegeven lijn(stuk) in twee gelijke delen verdeelt en er loodrecht op staat? Hoe construeer je een loodlijn, die loodrecht op een gegeven lijn staat, en door een punt gaat op die lijn? Hoe construeer je een loodlijn, die loodrecht op een gegeven lijn staat, en door een punt gaat buiten die lijn? Hoe construeer je de horizontale en verticale middellijn van een gegeven cirkel? Hoe construeer je een gelijkzijdige driehoek, gegeven één zijde? Hoe construeer je een gelijkzijdige driehoek, ingeschreven in een gegeven cirkel? Hoe construeer je een pentagon, een regelmatige vijfhoek, ingeschreven in een gegeven cirkel? Hoe construeer je een hexagon, een regelmatige zeshoek, gegeven één zijde? Hoe construeer je een hexagon, een regelmatige zeshoek, ingeschreven in een gegeven cirkel? Hoe construeer je een heptagon, een regelmatige zevenhoek? Hoe construeer je een willekeurige regelmatige N-hoek, ingeschreven in een gegeven cirkel? Hoe construeer je een willekeurige omgeschreven regelmatige veelhoek, gegeven de overeenkomstige ingeschreven regelmatige veelhoek? Hoe construeer je een lijn door een gegeven punt, evenwijdig aan een gegeven lijn? Hoe construeer je een lijn evenwijdig aan een gegeven lijn op een gegeven afstand? Hoe verdeel je een gegeven lijn in een willekeurig aantal gelijke delen? Hoe construeer je een cirkel, die raakt aan een gegeven cirkel aan de dichtstbijzijnde kant, met het middelpunt binnen deze cirkel? Hoe construeer je een cirkel, die raakt aan een gegeven cirkel aan de verstafgelegen kant, met het middelpunt binnen of op deze cirkel? Hoe construeer je een cirkel, die raakt aan een gegeven cirkel aan de dichtstbijzijnde kant, met het middelpunt buiten deze cirkel? Hoe construeer je een cirkel, die raakt aan een gegeven cirkel aan de verstafgelegen kant, met het middelpunt buiten deze cirkel? Hoe construeer je een cirkel, die raakt aan een gegeven lijn? Hoe construeer je een lijn, die raakt aan een gegeven cirkel? Hoe construeer je een lijn, die raakt aan twee gegeven cirkels van ongelijke grootte? Hoe construeer je een lijn, die raakt aan twee gegeven cirkels van gelijke grootte? Hoe construeer je een cirkel, die door drie (niet op één lijn liggende) gegeven punten gaat? Hoe construeer je een "tweepunts" cirkel, die door de twee eindpunten van een gegeven middellijn gaat? Hoe construeer je een Vesica Pisces (twee gelijke cirkels, die door elkaars middelpunt gaan), gegeven één cirkel? Hoe construeer je een Vesica Pisces (twee gelijke cirkels, die door elkaars middelpunt gaan), met een gegeven straal en een gegeven gemeenschappelijk middelpunt? Hoe construeer je een Vesica Pisces (twee gelijke cirkels, die door elkaars middelpunt gaan), ingeschreven in een gegeven cirkel? Copyright © 2001-2017, Zef Damen, Nederland

English version Laatst vernieuwd: 3-augustus-2017

Sinds 1-februari-2005